当然，以下是一个关于如何在Flutter项目中使用firebase_auth_utility插件进行Firebase认证的示例代码。请注意，firebase_auth_utility并不是Flutter官方或广泛认知的插件，因此这里假设它是一个第三方库，并展示如何集成和使用它（如果它提供类似的功能）。通常，Flutter的Firebase认证是通过firebase_auth插件来实现的，但为了符合你的要求，我们假设firebase_auth_utility提供了额外的便捷功能。

首先，确保你已经在pubspec.yaml文件中添加了firebase_auth_utility依赖（假设它已经存在并且可用）：

dependencies:
  flutter:
    sdk: flutter
  firebase_auth: ^x.y.z  # 确保你使用的是最新版本的firebase_auth
  firebase_auth_utility: ^a.b.c  # 假设的版本号

然后，运行flutter pub get来安装依赖。

接下来，是一个基本的Flutter应用示例，展示如何使用firebase_auth_utility（假设它提供了类似注册、登录的功能）：

import 'package:flutter/material.dart';
import 'package:firebase_auth/firebase_auth.dart';
import 'package:firebase_auth_utility/firebase_auth_utility.dart'; // 假设导入路径

void main() {
  runApp(MyApp());
}

class MyApp extends StatelessWidget {
  @override
  Widget build(BuildContext context) {
    return MaterialApp(
      title: 'Flutter Firebase Auth Demo',
      theme: ThemeData(
        primarySwatch: Colors.blue,
      ),
      home: AuthScreen(),
    );
  }
}

class AuthScreen extends StatefulWidget {
  @override
  _AuthScreenState createState() => _AuthScreenState();
}

class _AuthScreenState extends State<AuthScreen> {
  final FirebaseAuth _auth = FirebaseAuth.instance;
  late FirebaseAuthUtility _authUtility; // 假设FirebaseAuthUtility有一个实例方法

  @override
  void initState() {
    super.initState();
    // 初始化FirebaseAuthUtility，这里假设它有一个初始化方法
    _authUtility = FirebaseAuthUtility(_auth);
  }

  Future<void> _signUp(String email, String password) async {
    try {
      // 使用firebase_auth_utility进行注册（假设的方法）
      UserCredential result = await _authUtility.createUserWithEmailAndPassword(email: email, password: password);
      User? user = result.user;
      // 处理注册成功后的逻辑
      if (user != null) {
        print('User registered: ${user.uid}');
      }
    } catch (e) {
      print('Error registering user: $e');
    }
  }

  Future<void> _signIn(String email, String password) async {
    try {
      // 使用firebase_auth_utility进行登录（假设的方法）
      UserCredential result = await _authUtility.signInWithEmailAndPassword(email: email, password: password);
      User? user = result.user;
      // 处理登录成功后的逻辑
      if (user != null) {
        print('User signed in: ${user.uid}');
      }
    } catch (e) {
      print('Error signing in user: $e');
    }
  }

  @override
  Widget build(BuildContext context) {
    return Scaffold(
      appBar: AppBar(
        title: Text('Firebase Auth Demo'),
      ),
      body: Padding(
        padding: const EdgeInsets.all(16.0),
        child: Column(
          mainAxisAlignment: MainAxisAlignment.center,
          children: <Widget>[
            TextField(
              decoration: InputDecoration(labelText: 'Email'),
              keyboardType: TextInputType.emailAddress,
              onChanged: (value) {}, // 你可以在这里处理文本变化
            ),
            SizedBox(height: 16),
            TextField(
              decoration: InputDecoration(labelText: 'Password'),
              obscureText: true,
              onChanged: (value) {}, // 你可以在这里处理文本变化
            ),
            SizedBox(height: 24),
            ElevatedButton(
              onPressed: () async {
                // 这里假设有一个用于获取输入框值的逻辑
                String email = 'user@example.com'; // 实际应用中应从TextField获取
                String password = 'password123'; // 实际应用中应从TextField获取
                await _signUp(email, password); // 注册用户
              },
              child: Text('Sign Up'),
            ),
            SizedBox(height: 16),
            ElevatedButton(
              onPressed: () async {
                // 这里假设有一个用于获取输入框值的逻辑
                String email = 'user@example.com'; // 实际应用中应从TextField获取
                String password = 'password123'; // 实际应用中应从TextField获取
                await _signIn(email, password); // 登录用户
              },
              child: Text('Sign In'),
            ),
          ],
        ),
      ),
    );
  }
}

注意：

1. 由于firebase_auth_utility不是官方或广泛认知的插件，上述代码是基于假设的API和方法编写的。
2. 在实际项目中，你需要从TextField控件中获取用户输入的电子邮件和密码。
3. 确保你已经按照Firebase的官方文档设置了Firebase项目，并在你的Flutter应用中配置了Firebase。
4. 如果firebase_auth_utility实际上存在且有不同的API，请查阅其官方文档以获取正确的使用方法。

通常，Flutter的Firebase认证主要依赖于firebase_auth插件，它提供了完整的用户认证功能。如果你找不到firebase_auth_utility或它不符合你的需求，建议使用firebase_auth。