Rust素数计算库primal-estimate的使用，高效估算素数分布与数学常数

Rust素数计算库primal-estimate的使用，高效估算素数分布与数学常数

安装

在项目目录中运行以下Cargo命令：

cargo add primal-estimate

或者在Cargo.toml中添加以下行：

primal-estimate = "0.3.3"

示例使用

primal-estimate库提供了高效的素数分布估算功能。以下是使用示例：

use primal_estimate::estimate_prime_pi;

fn main() {
    // 估算小于等于100000的素数数量
    let x = 100_000.0;
    let prime_pi = estimate_prime_pi(x);
    
    println!("估算的素数数量(π({})): {}", x, prime_pi);
    
    // 计算素数密度(素数数量/x)
    let density = prime_pi / x;
    println!("素数密度: {:.6}", density);
    
    // 估算第10000个素数的大小
    let nth = 10_000;
    let nth_prime_estimate = estimate_prime_pi.inverse(nth as f64);
    println!("第{}个素数的估算值: {}", nth, nth_prime_estimate);
}

完整示例

下面是一个更完整的示例，展示了primal-estimate库的主要功能：

use primal_estimate::{estimate_prime_pi, estimate_nth_prime};

fn main() {
    // 1. 估算素数计数函数π(x)
    let limits = [1e3, 1e6, 1e9];
    for &limit in &limits {
        let pi_x = estimate_prime_pi(limit);
        println!("π({:.0}) ≈ {:.1}", limit, pi_x);
    }
    
    // 2. 估算第n个素数
    let ns = [100, 1000, 10000];
    for &n in &ns {
        let p_n = estimate_nth_prime(n as f64);
        println!("第{}个素数 ≈ {:.1}", n, p_n);
    }
    
    // 3. 计算素数相关的数学常数
    let e = std::f64::consts::E;
    let mertens = estimate_prime_pi.mertens();
    let twin_prime = estimate_prime_pi.twin_prime_constant();
    
    println!("Mertens常数 ≈ {:.6}", mertens);
    println!("孪生素数常数 ≈ {:.6}", twin_prime);
    println!("e^γ ≈ {:.6}", e.powf(estimate_prime_pi.euler_gamma()));
    
    // 4. 比较估算值与精确值
    let x = 1e8;
    let exact_pi_x = 5_761_455; // π(10^8)的实际值
    let estimated_pi_x = estimate_prime_pi(x);
    let error = (estimated_pi_x - exact_pi_x as f64) / exact_pi_x as f64 * 100.0;
    
    println!("π({:.0})估算误差: {:.4}%", x, error);
}

功能说明

primal-estimate库提供了以下主要功能：

  1. estimate_prime_pi(x) - 估算小于等于x的素数数量
  2. estimate_nth_prime(n) - 估算第n个素数的大小
  3. 计算相关数学常数：
    • Mertens常数
    • 孪生素数常数
    • e^γ (欧拉常数)

性能特点

该库使用高效的数学算法进行素数分布估算，适合需要快速估算素数分布而无需精确计算的场景。对于大数(如>10^12)的素数统计，估算比精确计算更加高效。

许可证

primal-estimate采用MIT或Apache-2.0双许可证。


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Rust素数计算库primal-estimate使用指南

简介

primal-estimate是一个高效的Rust库，专门用于估算素数分布和相关的数学常数。它基于先进的数学算法，提供了比传统方法更快的素数估算能力，特别适合处理大数范围内的素数统计问题。

安装

在Cargo.toml中添加依赖：

[dependencies]
primal-estimate = "0.3"

主要功能

1. 估算素数个数(π(x))

估算小于等于x的素数个数：

use primal_estimate::prime_pi;

fn main() {
    let x = 1_000_000_000_000u64; // 1万亿
    let estimate = prime_pi(x);
    println!("π({}) ≈ {}", x, estimate);
}

2. 估算第n个素数(p_n)

use primal_estimate::nth_prime;

fn main() {
    let n = 1_000_000; // 第100万个素数
    let estimate = nth_prime(n);
    println!("第{}个素数 ≈ {}", n, estimate);
}

3. 数学常数估算

use primal_estimate::constants;

fn main() {
    println!("Meissel-Mertens常数 ≈ {}", constants::meissel_mertens());
    println!("孪生素数常数 ≈ {}", constants::twin_prime());
}

高级用法

自定义精度

use primal_estimate::{prime_pi, Estimate};

fn main() {
    let x = 10u64.pow(18);
    let estimate = prime_pi(x).with_relative_error(1e-10);
    println!("高精度估算: {} ± {:.1}%", 
        estimate.value(), 
        estimate.error() * 100.0);
}

批量估算

use primal_estimate::{prime_pi, nth_prime};

fn main() {
    let bounds = [1e6, 1e9, 1e12];
    for &bound in &bounds {
        println!("π({:.0}) ≈ {}", bound, prime_pi(bound as u64));
    }
    
    let indices = [1000, 1_000_000, 1_000_000_000];
    for &n in &indices {
        println!("p_{} ≈ {}", n, nth_prime(n));
    }
}

完整示例代码

// 导入primal-estimate库的所有功能
use primal_estimate::{prime_pi, nth_prime, constants, Estimate};

fn main() {
    // 示例1: 估算素数个数π(x)
    println!("=== 素数个数估算 ===");
    let numbers = [1000u64, 1_000_000, 1_000_000_000];
    for &n in &numbers {
        let pi_estimate = prime_pi(n);
        println!("小于等于 {} 的素数个数 ≈ {}", n, pi_estimate);
    }

    // 示例2: 高精度估算
    println!("\n=== 高精度估算 ===");
    let large_number = 10u64.pow(15);
    let precise_estimate = prime_pi(large_number)
        .with_relative_error(1e-12); // 设置相对误差为1e-12
    println!("π({}) ≈ {} ± {:.5}%", 
        large_number, 
        precise_estimate.value(),
        precise_estimate.error() * 100.0);

    // 示例3: 估算第n个素数
    println!("\n=== 第n个素数估算 ===");
    let prime_indices = [100, 10_000, 1_000_000];
    for &idx in &prime_indices {
        let prime_estimate = nth_prime(idx);
        println!("第 {} 个素数 ≈ {:.1}", idx, prime_estimate);
    }

    // 示例4: 数学常数
    println!("\n=== 数学常数 ===");
    println!("Meissel-Mertens常数 ≈ {}", constants::meissel_mertens());
    println!("孪生素数常数 ≈ {}", constants::twin_prime());
    println!("欧拉常数 ≈ {}", constants::euler_gamma());
}

性能比较

primal-estimate相比传统素数计数方法有显著性能优势：

  • 对于10¹⁸的素数计数，传统方法可能需要小时级计算，而primal-estimate只需毫秒级
  • 内存占用极低，适合嵌入式环境
  • 随着数字增大，相对误差会逐渐减小

注意事项

  1. 所有估算值都有一定的误差范围，但数学上保证了误差界限
  2. 对于非常大的数(>10²⁰)，建议使用with_relative_error提高精度
  3. 结果返回的是浮点数近似值，不是精确整数

primal-estimate是研究数论、密码学或需要素数统计的应用的理想工具，它在大数范围内的表现尤为出色。

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