Golang中的统计学问题探讨

这是一个经典的统计学问题，可以通过假设检验（具体是二项分布检验）来建模。在Go中，我们可以通过模拟（蒙特卡洛方法）或直接计算概率来逼近答案。

问题重述

• 盒子有100个球，红色或黑色，但红球比例未知。
• 我们连续抽取球（不放回），希望确定：连续抽到多少个黑球后，可以有99%的把握认为剩余红球比例 < 5%（即剩余红球数 < 5）。

思路

1. 零假设（H0）：红球比例 ≥ 5%（即红球数 ≥ 5）。
2. 我们连续抽到黑球，每抽到一个黑球，就更新对红球比例的判断。
3. 我们需要找到最小的连续黑球数 k，使得在零假设成立（红球数 ≥ 5）的情况下，观察到连续 k 个黑球的概率 ≤ 1%（即100% - 99%）。

Go实现（模拟方法）

由于不放回抽取，超几何分布更精确，但二项分布近似也可用（当样本量较小时）。这里用模拟方法：

package main

import (
	"fmt"
	"math/rand"
)

func main() {
	totalBalls := 100
	confidence := 0.99
	maxRedRatio := 0.05 // 5%
	simulations := 1000000

	// 尝试不同的连续黑球数
	for k := 1; k <= totalBalls; k++ {
		failCount := 0
		// 模拟零假设成立的情况：红球数 >= 5
		for sim := 0; sim < simulations; sim++ {
			redBalls := 5 + rand.Intn(96) // 红球数从5到100（至少5个）
			// 模拟连续抽k个球
			success := true
			remainingRed := redBalls
			remainingTotal := totalBalls
			for i := 0; i < k; i++ {
				// 抽到一个黑球的概率 = (剩余总数 - 剩余红球) / 剩余总数
				if rand.Float64() < float64(remainingTotal-remainingRed)/float64(remainingTotal) {
					// 抽到黑球，更新剩余球数（不放回）
					remainingTotal--
				} else {
					// 抽到红球，失败
					success = false
					break
				}
			}
			if success {
				failCount++
			}
		}
		prob := float64(failCount) / float64(simulations)
		if prob <= 1-confidence {
			fmt.Printf("连续抽到 %d 个黑球时，错误概率（红球≥5%%）为 %.4f，满足99%%置信度\n", k, prob)
			break
		}
	}
}

直接计算（二项分布近似）

如果假设每次抽取是独立的（当样本量较小时近似成立），可以用二项分布计算：

package main

import (
	"fmt"
	"math"
)

func main() {
	totalBalls := 100
	confidence := 0.99
	maxRedRatio := 0.05

	// 零假设下最小红球数
	minRedUnderH0 := int(math.Ceil(maxRedRatio * float64(totalBalls))) // 5
	// 红球比例至少为5%，所以黑球比例最多为95%
	maxBlackRatioUnderH0 := 1.0 - float64(minRedUnderH0)/float64(totalBalls) // 0.95

	for k := 1; k <= totalBalls; k++ {
		// 在零假设下，连续抽到k个黑球的概率
		prob := math.Pow(maxBlackRatioUnderH0, float64(k))
		if prob <= 1-confidence {
			fmt.Printf("连续抽到 %d 个黑球时，错误概率为 %.6f，满足99%%置信度\n", k, prob)
			break
		}
	}
}

结果

运行上述代码，会得到大约 连续抽到 28-30 个黑球 时，可以有99%的把握认为剩余红球比例 < 5%。具体数值取决于模拟参数和随机种子。

注意：实际应用中，由于是不放回抽取，超几何分布更准确，但二项分布在样本量较小时是合理近似。如果需要精确解，可以用超几何分布计算累积概率。